quarta-feira, 17 de novembro de 2010

Adimensionais Típicos, Semelhança ou Teoria dos Modelos, Escalas de Semelhança


1) NÚMEROS ADIMENSIOANSI TÍPICOS


Entre as grandezas mais frequentes nos fenômenos da mecânica dos Fluidos, temos:


* massa específica (ρ)

* velocidade característica (v)

* aceleração da gravidade (g)

* velocidade do som (c)


A combinação dessas grandezas, adotando-se ρ,v,L como base, origina quatro adimensionais que, devido à sua freqüente presença no estudo da Mecânica dos Fluidos, possuem nomes próprios. Cada um desses adimensionais representa uma relação entre forças de origens diferentes, que agem no escoamento de um fluido.


Os quatro adimensionais são:

a) Número de Reynolds (Re)





De forma geral, esse número é escrito como:





Em que o L representa um comprimento característico do escoamento, sem ser necessariamente um diâmetro.

Se chamarmos de Fi = m.a as forças de inércia de escoamento e de Fµ = τ.A as forças viscosas, o resultado da relação entre essas duas forças será:















Ou então: O número de Reynolds é proporcional ao quociente das forças de inércia e viscosas do escoamento.


Sabe-se que o movimento em tubos pode ser laminar ou turbulento:

* quando o Re é menor que 2.000, é laminar;

* quando o Re é maior que 2.400, é turbulento.

Isso significa que as turbulências denotam um predomínio das forças de inércia sobre as forças viscosas, enquanto que no laminar a predominância de forças viscosas não permite agitações, e portanto, não permite aceleração das partículas. Assim podemos concluir que, quanto maior for o número de Reynolds, menor será o efeito das forças viscosas no conjunto de forças que agem no fluido. Nessas condições, o número de Reynolds caracterizará, nos fenômenos, o efeito da viscosidade comparativamente com outros efeitos. Conclui-se que valores muito elevados do número de Reynolds representam um efeito desprezível da viscosidade no fenômeno em estudo.


b) Número de Euler (Eu)

O número de Euler é dado por:






Também chamado de coeficiente de pressão, esse número indica a relação entre as forças de pressão (Fp) e as forças de inércia no escoamento de um fluido.


Exemplos de usos do Eu: escoamentos em torno de perfis, em tubos, em máquinas hidráulicas, etc.


No estudo do escoamento em volta de objetos imersos, em movimento relativo com o fluido, costuma-se usar o adimensional:






Ca é proporcional ao número Euler, uma vez que L² representa uma área. Esse adimensional é chamado ‘coeficiente de arrasto’ e Fa será a força de arrasto ou força de resistência ao avanço de uma superfície sólida que se desloca num fluido.


Um exemplo na Engenharia de aplicabilidade do número de Euler:

Ciclones

Ciclones são dispositivos de simples fabricação e operação, que são capazes de remover com eficiência partículas relativamente grandes de uma corrente gasosa. Em Engenharia Ambiental, eles podem ser aplicados para, por exemplo, remover material particulado poluente de efluente gasoso. Em outros ramos da engenharia, como na Engenharia Química, podem ser utilizados para separar e reciclar partículas de produtos valiosos comercialmente.











Em ciclones, o número de Euler é aplicado assim:

O Número de Euler fornece a relação entre a queda de pressão no ciclone, determinado pelo manômetro digital instalado na entrada do ciclone e a energia cinética por unidade de volume na alimentação. Quanto maior for o seu valor, maior será o consumo de energia para o bombeamento do gás. Assim, Eu é definido como:







Em que Uc representa a velocidade média do fluido tomando por base a seção cilíndrica do ciclone.







Ou seja, o Eu é calculado utilizando-se os dados de vazão e queda de pressão no ciclone.



c) Número de Froude (Fr)





Representa a relação entre as forças de inércia e as forças devidas á aceleração da gravidade. É importante em escoamentos onde há superfícies livres com possibilidade de formação de ondas. São casos desse tipo: ação das ondas em flutuantes, escoamentos em canais, escoamentos em vertedores, em orifícios, etc.

d) Número de Mach (M)






Onde c é a velocidade do som do fluido em escoamento.


Esse adimensional comparece quando os efeitos de compressibilidade do fluido são importantes. O M permite classificar os escoamentos em subsônicos (quando M<1), m="1)">1) de características diferentes qualitativa e quantitativamente.


SEMELHANÇA OU TEORIA DOS MODELOS

Devido ao grande número de variáveis envolvidas, é normalmente impossível a determinação de todos os resultados numéricos referentes a um certo fenômeno da Mecânica dos Fluidos, por via puramente analítica. Uma das formas de simplificar as pesquisas é a construção de um modelo em escala que simula as condições do fenômeno em escala real, ou seja, a construção de um protótipo.

Para que os resultados das grandezas medidas no modelo tenham valor prático em relação ao protótipo, certas condições deverão ser cumpridas:


a) Entre modelo e protótipo deve existir semelhança geométrica, isto é, o modelo e o protótipo poderão ter dimensões diferentes, mas têm de ter o mesmo formato. As suas dimensões correspondentes deverão ser proporcionais;

b) Entre modelo e protótipo deve existir semelhança cinemática, isto é, as velocidades das partículas de fluido homólogas deverão manter uma relação constante, conforme a figura abaixo exemplifica:






c) Entre modelo e protótipo deve existir semelhança dinâmica, isto é, as forças que agem em pontos homólogos deverão manter relações constantes.

Para que todas essas condições sejam obtidas, verifica-se que os adimensionais referentes ao protótipo devem ser iguais aos respectivos adimensionais, referentes ao modelo.

Se, por construção, essa igualdade for conseguida, diz-se que o fenômeno referente ao protótipo e o referente ao modelo mantêm uma semelhança completa. Nota-se que nem sempre isso é possível e dependerá da experiência do pesquisador associar ao protótipo os resultados obtidos no modelo.



ESCALAS DE SEMELHANÇA

Representam a relação entre uma grandeza referente ao modelo e a mesma grandeza referente ao protótipo.

Essas escalas são representadas pelo símbolo K.


ALGUNAS EXEMPLOS DE ESCALAS DE SEMELHANÇA SÃO:


* Escala geométrica




* Escala das velocidades





* Escala das viscosidades





* Ou então, genericamente:





Em que o x representa uma grandeza física qualquer referente ao fenômeno.


RELAÇÕES ENTRE ESCALAS

Para que o modelo e o protótipo mantenham semelhança completa, é necessária a igualdade dos respectivos números adimensionais. Tal igualdade conduz a relações entre escalas que deverão ser observadas para que os resultados referentes ao modelo tenham significado para o protótipo. A seguir serão determinadas essas relações quando Re, Eu e Fr forem adimensionais característicos do fenômeno.


a) Rem = Rep












b) Eum = Eup












c) Frm = Frp














Podemos perceber que, em geral, Kg = 1 para fenômenos realizados na terra, pois a aceleração da gravidade varia muito pouco de um local para outro.


Fontes:

BRUNETTI, Franco. Mecânica dos Fluidos. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2005.


LACERDA, 2007. Estudo dos efeitos das variáveis geométricas no desempenho de ciclones convencionais e filtrantes. Tese de Doutorado.

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