NÚMEROS ADIMENSIONAIS

lUm número adimensional é quando independe de todas as grandezas fundamentais, isto é, sua equação dimensional apresenta expoente zero em todas as grandezas fundamentais

São extremamente importantes na correlação de dados experimentais;

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lEm razão das múltiplas aplicações dos grupos adimensionais nos estudos de modelos e aplicações de semelhança dinâmica, vários grupos foram criados nas diversas áreas que compõem os FÊNOMENOS DE TRANSPORTES

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Alguns dos mais importantes:

lNúmero de Reynolds;

lNúmero de Froude;

lNúmero de Euler;

lNúmero de Mach;

lNúmero de Weber;

lNúmero de Nusselt;

lNúmero de Prandtl;

Número de Reynolds:

 

l- Relação entre Forças de Inércia e Forças Viscosas;

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l- Um número de Reynolds “crítico” diferencia os regimes de escoamento laminar e turbulento em condutos na camada limite ou ao redor de corpos submersos; 

etc...

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VANTAGEM DA UTILIZAÇÃO DOS NÚMEROS ADIMENSIONAIS NA DE UMA LEI FÍSICA

A seguir, será mostrada por meio de exemplo, a vantagem do uso de números adimensionais.

Suponhamos que deseje determinar a força F de resistência ao avanço de uma esfera lisa mergulhada num fluido. Tal forrça costuma ser chamada de força de arraste.

o pesquisador observou em laboratório, que essa força depende, qualitivamente, do diâmetro e da velocidade da esfera, da massa específica do fluido e da viscosidade dinâmica do mesmo. 

Nota-se que tal determinação será feita em laboratório, num tubo aerodinâmico ou um canal de provas. A medida da força será efetuada por meio de um dinamômetro, ao qual serão aplicadas esferas de diferentes diâmetros. As velocidades são variadas de forma a se obter o efeito do movimento relativo entre o fluido e a esfera. A pesquisa visa a determinar,

seja analítica ou graficamente.

Diante das dificuldades dessa operação, vejamos como ele poderia ser simplificado em termos de tempo e recursos. Suponha a existência dos seguintes números adimensionais

Seja uma única esfera de diâmetro D e um único fluido com sua massa específica e viscosidade.

 

 TEOREMA DOS PÍ

Teorema 

Seja um fenômeno físico em que intervêm n variáveis interligada  por uma função f(n)=0

Demonstra-se que existe outra função  rigorosamente equivalente a anterior para o estudo do fenômeno indicado, onde:

a) os Pí são números adimensionais independentes, construído por combinaçaão adequada das n variáveis

b) a quantidade de números adimensionais é m = n - r

c) e adimensionais são obtidos por expressões do tipo

 Na trinca L é o comprimento característico do fenômeno, podendo ser um diâmetro, um raio, uma altura ou qualquer grandeza cuja esquação dimensional seja L. 

O último fator de cada adimensional será constituído de cada grandeza não incluídas na base.

A determinação dos adimensionais será mais bem esclarecida pelos dois exemplos que veremos a seguir.

 

  Fontes:

www.hidro.ufcg.edu.br/twiki/pub/Disciplinas/.../Semelhana.ppt
BRUNETTI, Franco; Mecânica dos Fluidos - SP, 2005.

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prof. Angela

Análise Dimensional - Semelhança

Introduzindo o assunto das próximas postagens...

A solução de alguns problemas da Mecânica dos Fluidos por métodos analíticos geralmente é difícil e trabalhosa, ou impossível, devido ao grande número de variáveis envolvidas. Então desenvolvem-se métodos experimentais que permitem, produzir modelos matemáticos condizentes com a realidade.

A análise dimencional, é uma teoria matemática, que, aplicada à Mecânica dos Fluidos, permite tirar maiores proveitos dos resultados experimentais, assim reduzindo o tempo de pesquisa e, consequentemente os custos.

A Teoria da semelhança, ou teoria dos modelos, é baseada em princípios abordados pela análise dimensional e resolve certos problemas atraves da análise de modelos convenientes do fenomeno em estudo.

Grandezas e Equações dimensionais

Para desenvolver um certo fenômeno físico, devem-se construir funções que interliguem as grandezas como:

- espaço;

- tempo;

- velocidade;

- aceleração;

- força;

- massa;

- energia cinética;

- trabalho, etc.

Essas grandezas não são independentes, estão interligadas pelas equações que descrevem as leis da física e suas definições. Existe somente três grandezas independentes, a partir das quais podem ser relacionadas todas as demais. A escolha dessas grandezas é feita de forma conveniente ao fenômeno em estudo e esse conjunto é chamado base completa da mecânica. Geralmente temos duas bases - FLT (força, comprimento e tempo) e MLT ( massa, comprimento e tempo). Todas as outras grandezas que não fazem parte da base completa são chamadas de grandezas derivadas e podem ser relacionadas com as grandezas fundamentais por meio das equações da mecânica. Chama-se Equação Dimensional aquela que relaciona as grandezas derivadas através da base completa.

Sistemas coerentes de unidades

Dada a equação dimencional de uma grandeza, é fácil escrever sua unidade; porém é necessário definir um sistema de unidades. Denomina-se Sistema Coerente de Unidades aquele que define somente as unidades das grandezas fundamentais. Por exemplo, um sistema que define as unidades das grandezas FLT é o MKS Técnico ou MK*S, em que:

M = metro ou unidade de L;

K* = quilograma-força ou unidade de F;

S = segundo ou unidade de T.

Qualquer outra unidade nesse sistema será produto de potência dessas três. Por exemplo, no caso da massa específica:

Nota-se que, as vezes, para simplificar a notação, nomes são dados às unidades das grandezas derivadas de um certo sistema. Por exemplo, a unidade de massa do MK*S costuma ser chamada utm (unidade técnica de massa). Com essa notação, tem-se:

Nota-se que utm=kgf.s²/m é apenas uma forma de simplificar a expressão das unidades, quando na definição da grandeza comparece a massa. Para efeito de transformações de unidades ou outras operações, é imprescindível lembrar a relação entre utm e as unidades das grandezas fundamentais.

Outros sistemas coerente de unidades são o Sistema Internacional (SI) e o CGS, que adotam como grandezas fundamentais o terno MLT. Para esses sistemas, a força é uma grandeza derivada.

No SI, as unidades fundamentais são:

- metro ou unidade de L;

- quilograma ou unidade de M;

- segundo ou unidade de T.

A unidade de força é denominada Newton (N) e deve ser considerada como:

No CGS, as unidades fundamentais são:

- C = centímetro ou unidade de L;

- G = grama ou unidade de M;

- S= segundo ou unidade de T.

A unidade de força é chamada normalmente de dina e deve ser considerada como:

Assista aos videos sobre conversão de unidades

Fonte: BRUNETTI, Franco; Mecânica dos Fluidos - SP, 2005.

CURIOSIDADE

Esse é um artigo muito interessante da REVISTA CIÊNCIA HOJE, que trata de um assunto já discutido em aula : A TURBULÊNCIA.


Nas imagens em anexo a seguir está o artigo, em ordem.



CAPA DO ARTIGO

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EQUILÍBRIO RELATIVO

EQUILÍBRIO RELATIVO

O equilíbrio relativo acontece quando um fluido está em repouso em relação a um sistema de referência fixo ao recipiente em que o fluido se encontra. Como as partículas do fluido não terão movimento em relação ao recipiente, também não haverá tensão de cisalhamento.

A figura abaixo pode exemplificar melhor:

O fluido, quando em relação ao sistema O’XYZ, está em movimento. Mas em relação ao sistema fixo no recipiente, que é o Oxyz, o fluido permanece em equilíbrio estável (desde que a aceleração seja constante). Assim, como esse fluido estará em repouso em relação a somente um desses dois referenciais adotados, ele estará em EQUILÍBRIO RELATIVO.

OBS: PARA QUE ISSO TUDO ACONTEÇA, É SUFICIENTE A ACELERAÇÃO SER CONSTANTE. NESSE ESTUDO DE EQUILÍBRIO RELATIVO TAMBÉM INCLUEMSSE O MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU) ONDE A ACELERAÇÃO TANGENCIAL É NULA E A ACELERAÇÃO CENTRÍPETA MANTÉM-SE CONSTANTE.

EXEMPLOS PRÁTICOS DE EQUILÍBRIO RELATIVO

* TANQUE EM TRANSLAÇÃO RETILÍNEA COM ACELERAÇÃO CONSTANTE, CONTENDO UM FLUIDO

Um carro-tanque, que está parcialmente cheio de um líquido homogêneo, percorre com aceleração constante a um trecho reto e horizontal de estrada. Como fazemos para determinar o ângulo j que a superfície livre do líquido, suposto em equilíbrio, forma com a horizontal?

Estando o líquido em equilíbrio relativo, o sistema não se deforma durante o movimento; todos os pontos do sistema, em particular um corpúsculo P junto à superfície livre, têm a mesma aceleração a. A superfície livre apresenta-se inclinada de um ângulo j .

A força m.a agente no corpúsculo (cuja massa é m) é resultante da força de campo m.g (de gravidade) e da força de contato N (do líquido subjacente), Com |a| = a, a poligonal vetorial nos dá:

tgj = m.a/m.g portanto tgj = a/g

Em movimento uniforme (a = 0) resulta j = 0 (superfície livre horizontal).

* TANQUE COM MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO EM UM PLANO INCLINADO

O carro-tanque foi abandonado em um plano inclinado perfeitamente liso e que forma com o horizonte o ângulo q . Como determinar o ângulo j que a superfície livre do líquido forma com a horizontal, em sua configuração de equilíbrio relativo?

O carro e o líquido contido nele realizam movimento de translação segundo uma reta de maior declive do plano, com aceleração de intensidade: a = |a| = g.senq . No corpúsculo P de massa m e situado junto à superfície livre do líquido atua uma força resultante de intensidade: m.a = m.g.senq , paralela às linhas de maior declive do plano, e em sentido descendente.

Projetando as forças sobre uma reta de maior declive do plano, obtemos:

m.g.cos(90^o - q) - N.sen(q - j) = m.a
m.g.senq - N.sen(q - j) = m.g.senq
sen(q - j) =0
j = q

Isto é: A superfície livre do líquido é paralela ao plano inclinado.

Fontes:

BRUNETTI, Franco - Mecânica dos Fluidos - SP, 2005.

http://www.feiradeciencias.com.br/sala07/07_T01_03.asp